फोकस दूरी व वक्रता त्रिज्या के बीच क्या सम्बन्ध है ?`? - phokas dooree va vakrata trijya ke beech kya sambandh hai ?`?

फोकस दूरी एवं वक्रता त्रिज्या के संबंध यह एक महत्वपूर्ण टॉपिक है। इस पर एक या दो नंबर में प्रश्न आ जाता है या आंकिक प्रश्नों में भी इसका सूत्र उपयोग किया जाता है।

फोकस दूरी और वक्रता त्रिज्या में संबंध

चित्र में XY एक अवतल गोलीय दर्पण है AQ आपतित तथा QF परावर्तित किरणें हैं। एवं बिंदु Q पर एक अभिलंब CQ डाला जाता है। इस अभिलंब से आपतित किरण दो कोणों में विभाजित हो जाती है। परावर्तन के नियम के अनुसार से आपतन कोण, परावर्तन कोण के बराबर होता है। चित्र में ∠AQC आपतन कोण है। जिसे i द्वारा प्रदर्शित किया गया है। तथा ∠CQF परावर्तन कोण है जिसे r द्वारा प्रदर्शित किया गया है। तब
आपतन कोण = परावर्तन कोण
∠AQC = ∠CQF
i = r

एकांतर कोण प्रमेय से
∠FQC तथा ∠QCF आपस में बराबर होंगे। अतः
i = θ
चूंकि एकांतर कोण प्रमेय में दो कोण तथा दो भुजाएं आपस में बराबर होती हैं। तो
भुजा QF = भुजा CF
दर्पण का द्वारक छोटा होने के कारण भुजा QF, फोकस दूरी PF के बराबर होगी। तो
QF = PF
या QF = CF = PF समीकरण (1)

चित्र में वक्रता त्रिज्या को R से दर्शाया गया है। जो PF तथा CF के योग के बराबर होगी। तब
PC = CF + PF = R
समीकरण (1) से CF का मान रखने पर वक्रता त्रिज्या
R = PC = PF + CF
R = PF + PF
या वक्रता त्रिज्या R = 2PF
चूंकि PF फोकस दूरी f को निरूपित करता है तब
R = 2f
या \footnotesize \boxed { R = 2f }
यही गोलीय दर्पण की फोकस दूरी और वक्रता त्रिज्या में संबंध का सूत्र है।
इस सूत्र को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है।
\footnotesize \boxed { f = \frac{R}{2} }
अतः इसके अनुसार फोकस दूरी, वक्रता त्रिज्या की आधी होती है।
या वक्रता त्रिज्या, फोकस दूरी की दोगुनी होती है।

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कभी-कभी एक नंबर वाले सवालों में भी यह पूछ लिया जाता है की फोकस दूरी, वक्रता त्रिज्या में क्या संबंध है।

इस अध्याय के अंतर्गत हम फोकस दूरी एवं वक्रता त्रिज्या के संबंध का सूत्र स्थापित करेंगे, और सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को ध्यान से समझते हैं।

इसके लिए चित्र तैयार करते हैं। जिसमें XY एक अवतल दर्पण है AB प्रकाश की किरण मुख्य अक्ष के समांतर, दर्पण पर आपतित होती है। तथा परावर्तन के पश्चात यह प्रकाश किरण BF पर परावर्तित होती है। बिंदु B पर एक अभिलंब CB डाला जाता है इस अभिलंब से आपतित किरण दो कोणों में विभाजित हो जाती है।

परावर्तन के नियम से – आपतन कोण, परावर्तन कोण के बराबर होता है। क्योंकि प्रस्तुत चित्र में ∠ABC आपतन कोण है जिसे i द्वारा दर्शाया गया है। तथा ∠CBF परावर्तन कोण है जिसे r द्वारा दर्शाया गया है। तब यह आपस में बराबर होंगे। अर्थात्
आपतन कोण = परावर्तन कोण
i = r
∠ABC = ∠CBF

एकांतर कोण प्रमेय द्वारा
∆CBF में, ∠B तथा ∠C आपस में बराबर होंगे। अतः
i = θ
चूंकि इस प्रमेय में दो कोण तथा दो भुजा बराबर होती हैं अतः
भुजा BF = भुजा FC
परंतु दर्पण का द्वारक छोटा है इस कारण भुजा BF, फोकस दूरी के बराबर होगी। अतः
BF = PF

प्रस्तुत चित्र में R वक्रता त्रिज्या को निरूपित करता है। जिसका मान PF तथा CF के जोड़ के बराबर होगा। तब
PC = FC + CF = R
ऊपर एकांतर कोण प्रमेय द्वारा हमने पढ़ा है की भुजा CF, BF के बराबर है तथा BF, द्वारक के कारण PF के बराबर है तब
CF = BF = PF
अतः वक्रता त्रिज्या
R = PC = PF + CF
R = PF + PF
चूंकि PF चित्र में फोकस दूरी F को ही दर्शाता है अर्थात्
R = f + f
\footnotesize \boxed { R = 2f }

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यही फोकस दूरी तथा वक्रता त्रिज्या के बीच संबंध का सूत्र है इसे ऐसे भी लिख सकते हैं।
\footnotesize \boxed { f = \frac{R}{2} }
इस सूत्र के अनुसार फोकस दूरी, वक्रता त्रिज्या की आधी होती है।

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