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... RELOAD if chapter isn't visible. android file_download menu अनुपात (Ratio) : अनुपात हमेशा दो सजातीय राशि में होता है। एक राशि का दूसरी राशि में भाग देने पर अनुपात प्राप्त होता है। जैसे यदि A राशि को B राशि से भाग दिया जाये, तब  अतः अनुपात A : B में A को प्रथम पद तथा B को द्वितीय पद कहा जाता है। यदि किसी अनुपात के प्रत्येक पद को 0 को छोड़कर किसी निश्चित संख्या से गुणा या भाग करते हैं तो वह अनुपात अपरिवर्तित रहता है। अनुपात के गुण (Properties of Ratio)a : b = m a : m b, जहाँ m एक स्थिरांक है। a : b : c = A : B : C जो समतुल्य है यह एक महत्वपूर्ण गुण है जो तीन राशियों के अनुपात में उपयोग होता है। यदि तो अनुपात का यह गुण कम्पोनेंडो (Componendo) कहलाता है उदाहरण के लिए : इसलिए, = यह गुण डिविडेंडो (Dividendo) कहलाता है। उदाहरण के लिए: इसलिए, यह गुण कम्पोनेंडो और डिविडेंडो (Componendo and Dividendo) कहलाता है। उदाहरण के लिए: इसलिए, यदि तो उदाहरण के लिए: इसलिए यदि A > B तब उदाहरण के लिए: 3 > 2, तब, यदि A < B तो जहाँ A, B और C प्राकृतिक संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए: 2 < 3, तब, एक दी हुई राशि को दिये गये अनुपात में विभाजित करनामाना एक दी हुई राशि ‘a’ को अनुपात m : n में विभाजित करना है। माना दी हुई राशि का एक भाग x है तो दूसरा भाग a – x होगा। ∴ या nx = ma – mx या (m + n) x = ma ∴ पहला भाग है और दूसरा भाग होगा उदाहरण 1. 70 को 3 : 7 अनुपात में विभाजित कीजिए। हल: माना पहला भाग x है, तो दूसरा भाग = 70 – x ∴ या 7x = 210 – 3x या x = 21 और 70 – x = 49 अतः 70 के दो अभीष्ट भाग 21 और 49 हैं। किसी द्विआयामी चित्रों में, यदि भुजाओं का अनुपात x : y हो, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात x² : y² होगा। उदाहरण 2. दो वृतों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 5 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करें। हल: उनके क्षेत्रफलों का अनुपात = 2² : 5² = 4 : 25 किसी त्रिआयामी चित्रों में, यदि भुजाओं का अनुपात x : y हो, तो उनके आयतनों का अनुपात x³ : y³ होगा। यदि दो संख्याओं का अनुपात a : b है और यदि प्रत्येक संख्या में x वृद्धि होने पर अनुपात c : d हो जाए तब, दो संख्याओं का योग = दो संख्याओं का अंतर = दो दी हुई संख्याएँ हैं उदाहरण 3. दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 है। यदि प्रत्येक संख्या में 2 की वृद्धि हो, तो अनुपात 7 : 9 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करें। हल: संख्याएँ हैं या 12 और 16 यदि दो संख्याओं का योग A और अंतर a हो, तो दी हुई संख्याओं का अनुपात A + a : A – a होगा। उदाहरण 4. दो संख्याओं का योग 60 और अंतर 6 है। संख्याओं का अनुपात क्या होगा? हल: संख्याओं का अभीष्ट अनुपात या 11 : 9 समानुपात (Proportion)जब दो अनुपात बराबर होते हैं तो वे समानुपात कहलाते हैं। जैसे- उदाहरण 5. यदि 12 : 18 : : x : 24 हो, तो x का मान कितना होगा? हल: 12 : 18 : : x : 24 ⇒ 12 × 24 = 18 × x ⇒ x = समानुपात के प्रकारनिरंतर समानुपात: यदि तीन संख्याएँ a, b और c निरंतर समानुपात में हो, तो हम कह सकते हैं कि a, b और c समानुपात में हैं। तो, b² = ac ⇒ b = अतः हम कह सकते हैं कि ‘a’ पहला समानुपात, ‘c’ तीसरा समानुपात और ‘b’ मध्य समानुपात है। प्रत्यक्ष समानुपात: यदि X, Y के प्रत्यक्ष समानुपाती हो तो किसी एक के बढ़ने या घटने पर दूसरे पर उसका सीधा प्रभाव पड़ेगा। यदि X बढ़ता है तो Y भी बढ़ेगा और यदि X घटता है तो Y भी घटेगा। व्युत्क्रम समानुपात: यदि X, Y के व्युत्क्रमानुपाती हो यानी दोनों में किसी एक के बढ़ने या घटने पर दूसरे पर उसका व्युत्क्रम प्रभाव पड़ेगा। यदि X के बढ़ने पर Y घटे और X के घटने पर Y बढ़े तो इस समानुपात को व्युत्क्रम समानुपात कहते हैं।
माना a, b, c, d चार राशियाँ समानुपात में हैं, तो तब ad = bc
तब ac = b² b मध्य समानुपात कहलाता है।
यदि a : b : : b : c तो a : c = a² : b² मध्य समानुपात ज्ञात करनाउदाहरण 6. 3 और 75 के बीच मध्य समानुपात ज्ञात करें। हल: माना x अभीष्ट समानुपात है, तो 3 : x : : x : 75 ∴ x = जब चार राशियाँ समानुपात में हो, तो अज्ञात मान ज्ञात करनाःउदाहरण 7. चार संख्याएँ 10, 18, 22, 38 में प्रत्येक में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि वे समानुपात में हो जाएँ? हल: माना कि अभीष्ट संख्या x है प्रश्न के अनुसार, हम पाते हैं (10 + x) : (18 + x) : : (22 + x) : (38 + x) ⇒ (10 + x) (38 + x) = (18 + x) (22 + x) ⇒ 380 + 48x + x² = 396 + 40x + x² ⇒ 380 + 48x = 396 + 40x ⇒ 48x – 40x = 396 – 380 ⇒ 8x = 16 ⇒ अतः चारों दी हुई संख्याओं में, 2 जोड़ी जानी चाहिए। चौथा समानुपात ज्ञात करनाउदाहरण 8. p² – pq + q², p³ + q³, p – q का चौथा समानुपात ज्ञात करें। हल: माना x चौथा समानुपात है ∴ (p²– pq + q²) : (p³ + q³) = (p – q) : x ⇒ (p² – pq + q²) × x = (p³ + q³) (p – q) ∴ ⇒ ⇒ ∴ अभीष्ट चौथा समानुपात p² – q² है। तीसरा समानुपात ज्ञात करनाउदाहरण 9. a² – b² और a + b के बीच तीसरा समानुपात ज्ञात करें। हल: माना x अभीष्ट तीसरा समानुपात है, तब, a² – b² : a + b = a + b : X ∴ (a² – b²) x = (a + b) (a + b) ∴ अनुपात क्या होते हैं उदाहरण भी दीजिए?एक अनुपात को एक भिन्न भी समझा जा सकता है। दो अनुपात तुल्य कहलाते हैं, यदि उनकी संगत भिन्न तुल्य हों। एक समानुपात में, पदों का क्रम महत्वपूर्ण होता है। उदाहरणार्थ, 3, 8, 24, 64 समानुपात में हैं, परंतु 3, 8, 64, 24 समानुपात में नहीं हैं।
₹ 5 और 50 पैसे का अनुपात क्या होगा?5 Rs और 50 पैसा का अनुपात होगा-
अनुपात वाले सवाल कैसे हल करें?अनुपात अक्सर कॉलन (colon) की सहायता से व्यक्त किए जाते हैं: किसी भी अनुपात में जब दो संख्याओं की तुलना की जाती है तो अाप एक कॉलन का प्रयोग करते हैं। जैसे 7 : 13। जब आप दो संख्याओं से अधिक की एक ही बार में तुलना करते हैं तो प्रत्येक अगले सेट के बीच में एक कॉलन का प्रयोग किया जाता है (जैसे 10 : 2 : 23)।
अनुपात का सूत्र क्या है?अनुपात और समानुपात का सूत्र क्या है? Ans: किन्हीं दो राशियों के अनुपात सूत्र को a: b a/b के रूप में व्यक्त किया जाता है। दूसरी ओर, समानुपात सूत्र a:b::c:d⟶ab=cda:b::c:d⟶ab=cd के रूप में व्यक्त किया जाता है।
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अनुपात क्या होता है उदाहरण दीजिए? - anupaat kya hota hai udaaharan deejie?
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